?

Log in

No account? Create an account
Сергей Жуковец [userpic]

Занимательная геометрия

Январь, 30, 2008 (16:09)

Ноги этой истории растут отсюда.
Постановка задачи - тут. Решение - под катом


Итак:
Дано: квадрат со стороной a и круг с диаметром d. Найти a и d, если известно, что площать квадрата равна площади круга, а периметр квадрата равен длине окружности данного круга.

Решение:

Площадь квадрата = a^2
Площадь круга = Pi*d^2/4
Периметр квадрата = 4*a
Длинна окружности = Pi*d


Составляем несложную систему уравнений:
a^2=Pi*d^2/4
4*a=Pi*d, a=Pi*d/4

Путем нехитрых преобразований получаем
(Pi*d/4)^2=Pi*d^2/4
Pi^2*d^2/16=Pi*d^2/4

Далее - чистая арифметика

1) Для d<>0 (потому как на 0 делить низзя)
Сокращаем обе части уравнения на Pi*d^2/4
Pi/4=1
Pi=4 (А что, Вы этого не знали?)
a=d
2) Для d==0
d=0
a=0
a=d=0



Итого: a=d


Так что там у нас в этой связи с квадратурой круга? Плёвая задачка!


Туш, Нобелевская премия, новый раздел геометрии, Евклид в гробу перевернулся.

Comments

Posted by: Анна Смирнова (annasm)
Posted at: Январь, 30, 2008 14:27 (UTC)

ЧУдно! Логика!

Posted by: sharbachou (sharbachou)
Posted at: Февраль, 1, 2008 09:33 (UTC)

Это всего-лишь значит, что решения не существует, по крайней мере в рамках евклидовой геометрии.

Приведено доказательство отпротивного.
В решение задачи делается предположение "Допустим это возможно, тогда получаем систему, и как следствие Pi=4". То есть гипотеза опровергнута.

Posted by: sharbachou (sharbachou)
Posted at: Февраль, 1, 2008 13:36 (UTC)

Интересное доказательство придумал:

1. Единственность существования квадрата с заданной площадью исходит из площади формулы квадрата, как и единственность существования квадрата с заданным периметром.

2. Найдем площадь квадрата с периметром равным кругу.
Если взять шнурок завязанный на конца, и положить его в форме круга, а потом в форме квадрата, то периметр фигур останется тем же(тот же самый шнурок). Но, несмотря на то что фигуры выпуклые площадь их будет разной.
Математически это:
4*a=2*Pi*r
a=Pi*r/2
Площадь квадрата S=Pi^2*r^2/4 что не равно Pi*r^2
3. Так как квадрат у нас уникальный, то такое соотношение площадей возможно только если Pi=Pi^2/4, что невозможно в рамках евклидовой геометрии.

Если построить геометрию другую, то такая задача вполне возможно будет решаться.

3 Читать комментарии